因为$b^2+c^2=2b+4c-5$，所以得到
$$ b^2-2b+1+c^2-4c+4=0 $$
即
$$ (b-1)^2+(c-2)^2=0 $$
平方的非负性可得，$b=1,c=2$
代入$a^2=b^2+c^2-bc=3$，则$a=\sqrt{3}$，满足$a^2+b^2=c^2$，则$\triangle ABC$为直角三角形，其面积等于$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
一个多项式中，有关于某个字母的二次项和一次项，往往可以配凑成完全平方的形式.
这道题是有点特色的，因为单纯看$a,b$的正负，四个选项都可以，注意到，$B,C,D$选项中，一次函数与二次函数在$x$轴的交点是同一个点，令一次函数的$y=0$，得到$2ax+b=0$，解得$x=-\dfrac{b}{2a}$，而这恰好是二次函数的对称轴，这就意味着直线与$x$轴的交点，恰好在抛物线的对称轴上，只有$A$选项符合要求，因此答案是$A$.