本专题主要介绍二次函数背景下的三角形面积问题，重点介绍坐标系下“铅垂法“求三角形面积。

题目：抛物线的顶点为$D(1,4)$，与$y$轴交于点$C(0,3)$，与$x$轴交于点$A,B$

1 求抛物线的解析式，并画出图象；

解：由题可知，不妨假设抛物线的解析式为$y=a(x-1)^2+4$，代入$C(0,3)$可得，

$$ a+4=3 $$

解得$a=-1$

则抛物线解析式为$y=-(x-1)^2+3$，亦可写作$y=-x^2+2x+3$.

函数图象

2 求$\triangle ABC$和$\triangle DBC$的面积;

$\triangle ABC$和$\triangle DBC$

由1容易得到，$A(-1,0),B(3,0)$，则有

$$ S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}\cdot AB\cdot OC=\dfrac{1}{2}\times4\times3=6 $$

$\triangle DBC$的三条边的长度虽然都能计算出来，但是三条边都是”斜线段“，这样的线段是无法直接通过坐标的和差得出，因此需要变换策略——割补法

大部分人的思路是，将其补齐为一个矩形，如图所示

$$ \begin{align} S_{\triangle DBC}&=S_{矩形FOBE}-S_{\triangle DFC}-S_{\triangle COB}-S_{\triangle EDB}\\ &=3\times4-\dfrac{1}{2}\times1\times1-\dfrac{1}{2}\times3\times3-\dfrac{1}{2}\times2\times4\\ &=3 \end{align} $$

上述的割补法是非常容易掌握，但是其简单的理由是每个点的坐标都已知。下面介绍一种更便捷的割补方法.

补齐为如图所示

如图，可以观察得到